Sejam a e b dois inteiros, e m um inteiro positivo. Então a ≡ b (mod m) se e somente se a mod m ≡ b mod m.

Sendo a congruência uma relação de equivalência sobre Z, para todo m > 0, fica determinada sobre o conjunto dos inteiros, por meio da congruência, uma partição em classes de equivalência, módulo m. Portanto os números entre - 50 e 50 que são congruentes a 21 módulo 12 são:

Determine a solução particular (x0, y0) da equação diofantina linear expressa por: 

172 x + 20 y = 1 000  

A opção correta é a opção:

Um conjunto de m inteiros, m > 0, forma um sistema completo de restos módulo m denominando uma partição em classes de equivalência, que correspondem aos possíveis restos da divisão.

Lembrando que a congruência é uma relação de equivalência definida no conjunto Z,  em qual alternativa se pode verificar que o conjunto S =  {21, 29, 37, 45, 53, 61, 69} é um sistema completo de restos módulo 7?

Em Matemática, uma operação é qualquer tipo de procedimento que é realizado sobre certa quantidade de elementos, e que obedece sempre a uma mesma lógica (regra). Conforme o número de termos necessários em uma operação, esta pode ser classificada como operação unária, operação binária, operação ternária e assim por diante.

Uma operação binária genérica normalmente é representada como: X ❋ Y

Algumas operações binárias possuem certas propriedades notáveis.

Leia as afirmações a seguir:

I -  Uma aplicação f : A x A  →  A é dita operação ou  lei composição interna completamente definida  sobre  A,  ou  em A,  se: 
∀  x,  y ∈  A, x  ❋  y ∈ A.

II – Elemento neutro: Existe um  elemento neutro (e ), tal que e ❋ X = X para qualquer X, e também para X ❋ e = X.

III- Associatividade: Para quaisquer elementos X, Y e Z,  que ao serem operados comprovem:

(X ❋  Y) ❋  Z = X ❋  (Y ❋  Z).

IV- Elemento inverso ou elemento simétrico: Existe um par (X, X') tal que X ❋ X' = e. Também deve se verificar  X' ❋ X = e, onde e é o elemento neutro.

É correto, o que se afirma em:

O livro Matemático Aplicado à Administração, Economia e Contabilidade, da Editora Thompson, tem o seguinte código ISBN 85-221-0398-? Para descobrirmos o seu dígito de controle, sabendo que o resultado é uma congruência, módulo 11 de um número obtido por uma operação dos primeiros nove algarismos, segue a solução: 

Solução:

8    5  2  2  1  0  3  9  8

10  9  8  7  6  5  4  3  2 

Efetuando a soma dos produtos correspondentes, teremos:

80 + 45 + 16 + 14 + 6 + 0 + 12 + 27 + 16 = 216

216 /11 = 19 e sobra 7 como resto. 

Dessa forma, o primeiro dígito de controle será igual a 4 (11 – 7 = 4). 

Após analisar o exemplo citado acima, você deverá resolver a questão a seguir: 

Um determinado livro, publicado no Japão, tem o seguinte código ISBN:  3-540-04998-?, utilizando esse mesmo processo descubra o seu  primeiro dígito de controle e assinale a alternativa correta.

A congruência módulo m é uma operação muito importante na aritmética que é utilizada em várias áreas. Conhecendo e explorando os conceitos e as propriedades de congruência, podemos achar o resto de divisões como essa sem muito esforço e de forma eficaz. Inicialmente notemos que, se a ≡ b (mod m) se e somente se, a + c ≡ b+c (mod. m) ou a -  c ≡ b - c (mod. m).

Utilizando as propriedades citadas no contexto acima, podemos dizer que o resto das divisões se -10+3 ≡ 143+3 (mod 9), e ainda se - 7 - 5 ≡ 873 - 5 (mod. 4) são iguais a:

A subtração em Z uma operação que corresponde a todo par ordenado(a, b), cuja diferença é uma função definida dentro do conjunto Z, obtendo resultado, somente, em Z,logo podemos dizer que a subtração:

Sabemos que a congruência está diretamente ligada a divisibilidade, porém no conjunto dos números inteiros. Outro fator importante a ser considerado, é que em uma divisão não temos restos negativos.

Nesse sentido, analise as sentenças a segui, classificando-as em verdadeiras ou falsas:

(  ) - 68  ≡  62 (mod. 14)

(  ) - 450  ≡ 300 (mod. 5)

(  ) - 40 ≡  208 (mod. 6)

(  ) - 53  ≡ 227 (mod. 7)

(  )  426  ≡  604 (mod. 4)

É correto, o que se afirma na sequência:

Em qual alternativa se pode verificar que o conjunto A = { 10, 16, 32, 48, 54} é um sistema  completo de restos módulo 5?

Analisando o seu conhecimento referente ao capítulo de estruturas algébricas, identificando e reconhecendo, a partir de definições e da lei que define cada operação ou a tábua que as representam, tendo uma visão mais ampla da álgebra em nossa formação acadêmica e profissional, podemos perceber que: